השערת קטלן

ההבזק מתמקד בחיפוש אחר הוכחה או הפרכה של השערת קטלן משנת 1844, לגבי קיומם או אי קיומם של שני מספרים עוקבים שכל אחד מהם הוא חזקה שלמה. החיפוש הסתיים בשנת 2002 עם הצגת ההוכחה שנתן המתמטיקאי פרדה מיכאילצ'קו להשערה.

8(=23) ו-9(=32) הם שני מספרים שלמים חיוביים עוקבים ששניהם חזקות שלמות. האם קיימים עוד זוגות כאלה? אם כן – כמה יש ואם לא – איך ניתן להוכיח זאת?
מה הוכיח הרלב"ג (רבי לוי בן גרשון) כבר בשנת 1320 לגבי האפשרות למצוא עוד זוגות כאלה בין החזקות שבסיסיהן הם 2 ו- 3?
מה הוכיח אוילר ארבע מאות שנה אחרי הרלב"ג לגבי האפשרות למצוא עוד זוגות כאלה בין החזקות שמעריכיהן הם 2 ו- 3?
איזו השערה הנוגעת לפתרונות המשוואה הדיופנטית mp-nq=1 (m, n, p, q, שלמים>1, p,q ראשוניים) העלה קטלן בשנת 1844 לאור החיפושים שהעלו חרס אחרי זוגות נוספים של מספרים עוקבים שהם חזקות שלמות?
מי היה קטלן ובמה הוא עסק?
האם מספיק להוכיח את השערת קטלן למעריכים ראשוניים?
כדי להפריך את השערת קטלן המשיכו מתמטיקאים אחרים לחפש דוגמה נגדית. מה הראה וויליאם לה ווק בשנת 1851?
מה הוכיח ויקטור לבג בשנת 1850 לגבי המספר העוקב אחרי כל ריבוע שלם, כתימוכין להשערת קטלן?
מה הוכיח צ'או קו בשנת 1965 לגבי המספר שריבוע שלם כלשהו עוקב אחריו, כתימוכין להשערת קטלן?
מה אפשר להסיק בהסתמך על הממצאים של לבג ושל צ'או קו לגבי מספר הפתרונות של המשוואה הדיופנטית m^n "-" 〖 n〗^m=1 (m, n טבעיים>1)?
מה הוכיח טריגווה נאגל בשנת 1921 לגבי המספר העוקב והנעקב אחרי מספר שהוא חזקה שלישית כלשהי, כתימוכין להשערת קטלן?
בשנת 1960 הוכיח המתמטיקאי הבריטי איאן קׇאסֶלְס שכדי שיתקיים השוויון mp-nq=1 (m, n, p, q, שלמים>1, p,q ראשוניים)
q חייב לחלק את m, וְ-p חייב לחלק את n. מה הוכיחו בהסתמך על כך המתמטיקאים מקובסקי והירו לגבי שלושה מספרים עוקבים?
מי היה המתמטיקאי שהוכיח בשנת 1976 כי יש מספר (ענק) שמעליו בוודאות אין פתרון למשוואת קטלן? מהו המספר ומה החשיבות של הגילוי הזה?
מה הוכיח פרדה מיכאילצ'קו בשנת 2000? ובשנת 2002?
במה דומה השערת קטלן להשערת פרמה?
מה ידוע ומה עוד לא ידוע לגבי שתי חזקות שלמות שההפרש ביניהן גדול מ-1?

• ליאונרד אוילר
• דיופנטוס
• אלפרד ווייפריצ'
• רוברט טֵיידְמָן
• ויקטור לבג
• וויליאם לה ווק
• פרדה מיכאילצ'קו
• טריגווה נאגל
• איאן קאסלס
• צ'או קו
• אז'ן שארל קטלן
• רבי לוי בן גרשון (הרלב"ג)

• אלגברה אלמנטרית
– חזקה שלמה, בסיס החזקה, מעריך החזקה
– מספר (טבעי) ראשוני
– משוואה בעלת אינסוף פתרונות
– משוואות שאין להן אף פתרון
– שני מספרים עוקבים והביטוי האלגברי לכך
• כנסים מתמטיים
• לוגיקה
– הוכחה בשיטת המיצוי (של כל האפשרויות)
– הוכחה על דרך השלילה
– הכללה
– העלאת השערה לאור חקירה של מקרים פרטיים והכללת הממצאים
– הפרכה
– הצורך בהוכחה של השערה או בהפרכתה
– השערה
– משפט
• סדרות וטורים
– סדרת חזקות
• פרסומים וכתבי עת מתמטיים
– הספר "אריתמטיקה" מאת דיופנטוס
• פתרון חלקי (מקרים פרטיים) של בעיה כללית
• קבוצה סופית לעומת קבוצה אינסופית
• תורת המספרים
– השערת פרמה (שהפכה למשפט וויילס בשנת 1995)
– לא קיימים ארבעה מספרים עוקבים שכולם חזקות שלמות (הוכחה ישירה)
– לא קיימים שלושה מספרים עוקבים שכולם חזקות שלמות (מקובסקי והירו, 1960 ע"ס משפט קאסלס)
– לא קיימים שני מספרים עוקבים ששניהם חזקות שלמות פרט ל-8,9 (השערת קטלן שהפכה למשפט מיכאילצ'קו ב-2002)
– מספר עוקב
– מספרי ווייפריצ'
– משוואות דיופנטיות
– שלשות פיתגוריות

• להבנת המספרים הטבעיים